大問1 問2解説
条件を再掲する
- 推進剤の噴出速度 : \(w_{e}\)
- ロケットの初期質量 : \(m_{0}\)
- T秒後の質量 : \(m_{T}\)
- ロケットの速度増分\({\Delta}T\)
今、本体の質量\(m\)のロケットが速度\(V\)で飛行しているとする。微小時間\({\Delta\)tの間に質量\({\Delta}m\)だけ推進剤が噴出された状態を図示すると、以下のようになる。
上記の図において、運動量保存の法則より、
\[
\begin{align}
(m+{\Delta}m)V &= m(V+{\Delta}V) + {\Delta}m(V-w_{e}) \\\\
0 &= m{\Delta}V -{\Delta}mw \\\\
m{\Delta}V &= {\Delta}mw \\\\
{\Delta}V &= \frac{w}{m}{\Delta}m
\end{align}
\]
ここで、両辺を積分する。同じ記号を使っていて紛らわしいが、左辺の積分は求めたかった速度の変化分\({\Delta}V\)を表すことに注意する。右辺の積分範囲は\(m_{0}\)～\(m_{T}\)であるため、
\[
\begin{align}
\int_V^{V+{\Delta}T}dV &= w\int_{m_{0}}^{m_{T}}\frac{1}{m}dm \\\\
{\Delta}T &= w{\Large[}ln(m){\Large]}_{m_{0}}^{m_{T}} \\\\
&= w \ ln \left( \frac{m_{0}}{m_{T}} \right)
\end{align}
\]
よって、与式は示された。
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